問 左の図のように、△OABにおいて、辺OAを3:2の比に内分する点をC、辺OBの中点をDとし、線分ADとBCの交点をPとする。 とするとき、

ステップ1

  OC:CA＝3:2のとき

  

  同様にOD:DB＝1:1のとき

  

ステップ2-1

次に、左図のように△OADにおいて、AD=1、AP=sとすると、PD=1-sとなる。 (AD間で問題になるのは、AP:PDの比なので、ADは任意の正の数でよいが、1とすると最も簡単な式になる｡)

  ここで、内分点の位置ベクトルの公式を用いて
  

ステップ2-2

同様にして、左図のように△OBCにおいて、BC=1、BP=tとすると、PC=1-tとなる。 (BP:PCの比を問題にするので、BCは任意の正の数でよいが、便宜上BC=1とする｡)

  内分点の位置ベクトルの公式を用いて、
  

ステップ3

  ところで、Ａ=Ｂ、Ａ=Ｃ ならば、Ｂ=Ｃ なので、

   …(1)

   …(2)

  ならば、

  

  

  ここで、

ならば、ベクトルの(大きさと方向を表す)性質上m=nであるから、

 …(3)         …(4)

ステップ4

  (3)と(4)の式を連立させて、

  5-5s=3t
  -5s=3t-5  …(3’)

  s=2-2t
  5s=-10t+10  …(4’)

      

   よって、

     …(1)へ代入

  もしくは

     …(2)へ代入

答え